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福州一中2015年高三(理科)数学质检试卷+答案

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福州一中2015年高三(理科)数学质检试卷+答案文字介绍:福州一中2014-2015学年高三校质检试卷理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的标准差锥体体积公式s=222121()()()nxxxxxxn…V=31Sh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24SR，343VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集RU，}0)3(|{xxxM，}1|{xxN，则图中阴影部分表示的集合为A．}03|{xxB．}1|{xxC．}3|{xxD．}01|{xx（第1题图）2.若11aiii（i为虚数单位），则a的值为A.iB.iC.2iD.2i3.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12yx，则该双曲线的离心率等于A．5B．5C．25D．454.已知公差不为0的等差数列{}na满足134,,aaa成等比数列，nS为数列{}na的前n项和，则3253SSSS的值为A．2B．3C．2D．35.下列判断不正确的是A．若)25.0,4(~B，则1EB．命题“2,0xRx”的否定是“200,0xRx”C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等6.函数sin0,2fxx的最小正周期是，若其图象向右平移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数fx的图象A．关于点,012对称B．关于直线12x对称C．关于点)0,6(对称D．关于直线6x对称7．设点（）是区域4000xyxy内的任意一点，则函数2()41fxaxbx在区间[1,)上是增函数的概率为A．B．C．D．8.如图，在棱长均为2的四棱锥PABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（）A．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为3B．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为263C.BE与平面PAD不平行，且直线BE与平面PAD所成的角大于30第8题图D.BE与平面PAD不平行，且直线BE与平面PAD所成的角小于309．称(,)||dabab为两个向量,ab间的“距离”.若向量,ab满足：①||1b；②ab；③对任意的tR，恒有(,)(,)datbdab．则以下结论一定成立的是A．abB．()babC．()aabD．()()abab10．已知抛物线M：24yx=，圆N：222)1(ryx（其中r为常数，0r）.过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足BDAC的直线l有且只有三条的必要条件是A．(0,1]rB．(1,2]rC．3(,4)2rD．3[,)2r第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．若4(4),0(),(2012)cos,0xfxxfxftdtx则．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．13．在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过两分钟后，该物体位于点，且，则的值为．14．在2015(2)x的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，则当2x时，S等于．15．已知a为[0,1]上的任意实数，函数1()fxxa，22()1fxx，323()fxxx．则以下结论：①对于任意0xR，总存在)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，使得00()()0ijfxfx；②对于任意0xR，总存在)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，使得00()()0ijfxfx；③对于任意的函数)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，总存在0xR，使得00()()0ijfxfx；k＝1，S＝0开始k≤5?输出S结束否S＝S＋是k＝k＋1(第12题图)④对于任意的函数)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，总存在0xR，使得00()()0ijfxfx．其中正确结论的序号是．（填上你认为正确的所有答案序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若060DBFDAB，且FCFA.（Ⅰ）求证：FC∥∥平面EAD；（Ⅱ）求二面角AFCB的余弦值.（第17题图）18．（本小题满分13分）设，函数，且．（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△的内角、、所对的边分别为、、，且，求的取值范围．EABCDFO19．（本小题满分13分）已知(2,0)A，(2,0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数23()1xfxx，()ln()gxxxp.（Ⅰ）求函数()fx的图象在点11(,())33f处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()gx的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}na满足：03na，*nN，且1220153()2015aaa．若不等式122015()()()()fafafagx在(,)xp时恒成立，求实数p的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11aMb的一个特征值1所对应的特征向量为10.（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C：22221xxyy在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12xtyt（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为22sin()4.（Ⅰ）将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C相交于A、B两点，求AB的长.（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知正数a，b，c满足2226abc．（Ⅰ）求2abc的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||xxmM恒成立，求实数m的取值范围．福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：11.2212.313213.23314.4029215.①④选择题10简解：依题意可设直线l：1xmy，（1）代入24yx，得2440ymy，△=216(1)m，把（1）代入222)1(ryx得2221rym，设11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，44(,)Dxy，||||ACBD，即1324||||yyyy，若1324()yyyy，则1234yyyy，0m.若1324yyyy，则1234yyyy，即222411rmm，即22(1)rm，故当2r时，l有三条．从而本题应该选D.三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方题号12345678910答案DCCADBCDBD87569826甲乙5572585差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．………………5分（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25CCPXCC，14115528(1)25CPXCC，115511(2)25PXCC，…………………10分随机变量X的分布列是：X012P1625825125168120122525255EX．…………………………………………………13分17.（I）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以BCAD∥，BFDE∥.因为FBCAD平面，FBCD平面E，所以FBCAD平面∥，FBCDE平面∥…………………………………………………2分又ADDED，EADAD平面，EADDE平面，所以EAD平面∥平面FBC又FBCFC平面，所以EADFC平面∥…………………………………………………………………………4分（II）连接FO、FD,因为四边形BDEF为菱形，且060DBF，所以DBF为等边三角形，因为O为BD中点.所以BDFO，又因为O为AC中点,且FCFA，所以FOAC又ACBDO，所以ABCDFO平面………………………………………………6分由OFOBOA,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO设2AB，因为四边形ABCD为菱形，060DAB，则2BD，1OB，3OFOA，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(FCBAO…8分所以)0,1,3(),3,0,3(CBCF设平面BFC的一个法向量zEABCDFOxy为),,(zyxn，则有00CBnCFn,所以03033yxzx，令1x，则)1,3,1(n…………………………………………………………………10分因为AFC平面BD，所以平面AFC的一个法向量为)0,1,0(OB.因为二面角BFCA为锐二面角，设二面角的平面角为，则51553,coscosOBnOBnOBn.所以二面角BFCA的余弦值为515…………………………………………………13分18．解：（I）…………2分由得：，∴…………………………………4分∴……………………………………………5分由得：，∴的单调递减区间为：，………………………………7分（II）∵，由余弦定理得：，……………………………………………………………………………………………8分即，由正弦定理得：，，，∴…………………………11分∵△锐角三角形，∴，…………………………12分∴的取值范围为．…………………………………………13分19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，(,0)Fc．由题意知解得3b，1c．2221223,22,.abaabc故椭圆C的方程为22143xy.…………………………………………………………4分（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．…………………………………………………5分证明如下：由题意可设直线AP的方程为(2)ykx(0)k.则点D坐标为(2,4)k，BD中点E的坐标为(2,2)k．由22(2),143ykxxy得2222(34)1616120kxkxk．设点P的坐标为00(,)xy，则2021612234kxk．所以2026834kxk，00212(2)34kykxk．……………………………8分因为点F坐标为(1,0)，当12k时，点P的坐标为3(1,)2，点D的坐标为(2,2).直线PFx轴，此时以BD为直径的圆22(2)(1)1xy与直线PF相切．……………………………………………………………………………………………9分当12k时，则直线PF的斜率0204114PFykkxk.所以直线PF的方程为24(1)14kyxk．………………………………………10分点E到直线PF的距离222228421414161(14)kkkkkdkk322228142||14|14|kkkkkk．又因为||4||BDk，所以1||2dBD．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．………13分20.解:（Ⅰ）222222(1)2(3)61\'()(1)(1)xxxxxfxxx，……………………………1分OFEPDBAyx2121199\'()1310(1)9f，又1()33f，所以函数()fx在13x的切线方程为913()103yx，即9331010yx.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）11\'()1()xpgxxpxpxp当(,1)xpp时，\'()0,gx所以()gx在(,1)pp单调递减；当(1,)xp时，\'()0,gx所以()gx在(,1)pp单调递增；所以1xp时，min()(1)1gxgpp.……………………………………………5分①当10p，即1p时，()gx的零点个数为0；②当10p，即1p时，()gx的零点个数为1；③当10p即1p时，此时(1)0gp，(0)ln()0gp，()ln0ppppgpepeee（或,()xpgx）因为()gx在定义域上连续，由零点存在定理及()gx的单调性，知()gx在(,1)pp有且只有一个零点，()gx在(1,)p有且只有一个零点，所以1p时，()gx的零点个数为2.综上所述，当1p时，()gx的零点个数为2；1p时，()gx的零点个数为1；1p时，()gx的零点个数为0.…………………………………………………………………9分(Ⅲ)1220153()2015,aaa当12201513aaa时，有1()33f.所以1220151()()()2015()60453fafafaf.………………………10分接下来证明:122015()()()6045fafafa.由(I)知，函数23()1xfxx在13x的切线方程为9331010yx.而当03x时，2239331()(3)()0110103xfxxxxx成立.所以，当03,nanN时,有9333()(113)101010nnnfaaa………………12分所以，1220151220153()()()[1120153()]6045,10fafafaaaa所以，当12201513aaa时，122015()()()fafafa的最大值为6045.再由(II)知，min()1,gxp60451,p得6044.p所以p的最小值为6044.……………………………………………………………14分21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100ab，10ab，所以1a，0b.…2分所以1101M.因为det1M，所以11101M.………………………………4分（Ⅱ）曲线C：22221xxyy上任意一点(,)xy在矩阵M对应变换作用下得到\'\'(,)xy，则\'\'1101xxyy，得\'\'xxyyy，即\'\'\'xxyyy，代入方程22221xxyy得\'2\'2()()1xy.因此，曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程为221xy.…………7分（2）（Ⅰ）由12xtyt，得直线l的直角坐标方程为：210xy.………………2分由22sin()4，得22(sincoscossin)2sin2cos44，22sin2cos，得曲线C的直角坐标方程为：22(1)(1)2xy.……4分（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l的距离22|2111|25521d，圆的半径2R,224230||22255ABRd.……………………………………………………7分（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)abcabc，即有2(2)36abc，……………………………………………………………………2分又a、b、c是正数，26abc即2abc的最大值为6，当且仅当121abc，即当1,2acb时取得最大值．……………………………4分（Ⅱ）因为1|||1()||1|xxmxxmm，由题意及（Ⅰ）得，16m，得7m或5m.综上，实数m的取值范围为7m或5m.……………………………………………7分班级　座号姓名⊙┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄密┄┄┄封┄┄┄装┄┄┄订┄┄┄线┄┄┄内┄┄┄不┄┄┄要┄┄┄答┄┄┄题┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⊙福州一中2014-2015学年高三校质检答题卷（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分考试时间120分钟）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11.12.13.14.15.三、解答题（本大题共6小题，共80分）题号12345678910答案16.(本题满分13分)17.(本题满分13分)EABCDFO班级　座号姓名⊙┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄密┄┄┄封┄┄┄装┄┄┄订┄┄┄线┄┄┄内┄┄┄不┄┄┄要┄┄┄答┄┄┄题┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⊙18.(本题满分13分)19．(本题满分13分)班级　座号姓名⊙┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄密┄┄┄封┄┄┄装┄┄┄订┄┄┄线┄┄┄内┄┄┄不┄┄┄要┄┄┄答┄┄┄题┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⊙20.(本题满分14分)21.(本题满分14分)我选第题]1[]2[]3[

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