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2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点5《立体几何》

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2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点5《立体几何》文字介绍:2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷数学Ⅰ试题2011.15、设,为互不重合的平面，,mn为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,mnmn则；②若,,mnm∥,n∥，则∥；③若,,,,mnnmn则；④若,,//,//mmnn则.其中所有正确命题的序号是▲答案：①③15、（本题满分14分）如图,在直三棱柱111ABCABC中,090ACB，,,EFG分别是11,,AAACBB的中点，且1CGCG.(Ⅰ)求证：//CGBEF平面；(Ⅱ)求证：平面BEF平面11ACG.答案15、证:(Ⅰ)连接AG交BE于D,连接,DFEG.∵,EG分别是11,AABB的中点，∴AE∥BG且AE=BG,∴四边形AEGB是矩形.∴D是AG的中点…………………………………………………………………………(3分)又∵F是AC的中点,∴DF∥CG………………………………………………………(5分)则由DFBEF面,CGBEF面,得CG∥BEF面…………………………………(7分)(注:利用面面平行来证明的,类似给分)(Ⅱ)∵在直三棱柱111ABCABC中，1CC⊥底面111ABC,∴1CC⊥11AC.又∵011190ACBACB,即11CB⊥11AC,∴11AC⊥面11BCCB……………(9分)而CG面11BCCB,∴11AC⊥CG………………………………(11分)又1CGCG,由(Ⅰ)DF∥CG，111,ACDFDFCG∴DF平面11ACG………………………………………(13分)1A1C1BEFGACBDF平面BEF，∴平面BEF平面11ACG.……………………………(14分)二、必答题：本大题共2小题，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤．5．如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A－BE－C的余弦值．解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．200010210021EBAC（，，）（，，）（，，），（，，），……………………2分cos<,EBAC>22555．　………………………………4分由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是25．………………5分（2）(201)AB，，，(011)AE，，，设平面ABE的法向量为1()xyz，，n，则由1ABn，1AEn，得20,0.xzyz目取n＝（1，2，2），平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），　………………………………7分12121222cos||||3144，nnnnnn．……9分由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－23．……10分江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)二、2．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN//平面DAE．解：(1)因为BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC，又BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF，AOECB（第5题）又BFBC=B，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，所以AEBE．(2)如图所示，取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点．所以PN//DC，且12PNDC，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM//DC，且12AMDC，所以PN//AM，且PN=AM，故AMNP是平行四边形，所以MN//AP，而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN//平面DAE．七、理科附加题1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为4．解：以D为原点，射线DA、DC、DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P（0,0,1），C（0,2,0），设E（1,y0,0），则0(1,2,0)ECy，设平面PEC的法向量为1(,,)nxyz，1010,(2)0,20,0,nECxyyyznPC解之得0::(2):1:2xyzy，记10(2,1,2)ny，而平面ECD的法向量2(0,0,1)n，二面角P-EC-D的平面角12,4nn，122221202cos(2)121nnnny22，023yAE．当23AE时，二面角P-EC-D的平面角为4．2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题二、解答题：（本大题共6个小题，共90分．）16(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,E,F分别是AB,BC的中点.(I)求证：EF∥平面A1BC1；(Ⅱ)求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1.证明：（Ⅰ）连接AC，则AC∥A1C1，而E,F分别是AB,BC的中点，所以EF∥AC，则EF∥A1C1，又∵11AC平面A1BC1，EF平面A1BC1故EF∥平面A1BC1………………………7分（Ⅱ）因为BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，BB1B1D1=B1,BB1,B1D1平面D1DBB1则A1C1⊥平面D1DBB1…………………………………12分又11AC平面A1BC1，所以平面D1DBB1平面A1BC1…………14分附加题，必做题23．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点．（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；（2）求二面角B1－DC－C1的平面角的余弦值．解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C－xyz．则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．所以DC1＝(－2，0，1)，B1C＝(0，－2，－2)．……………2分所以cos＝＝＝－．即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．…………………………4分（2）因为CB＝(0，2，0)，CA＝(2，0，0)，CC1＝(0，0，2)，所以CB·CA＝0，CB·CC1＝0，所以CB为平面ACC1A1的一个法向量．…………………………6分A1B1C1ABCD1DEF第15题ABCA1B1C1D（第23题）ABCA1B1C1Dxzy因为B1C＝(0，－2，－2)，CD＝(2，0，1)，设平面B1DC1的一个法向量为n，n＝（x，y，z）．由得令x＝1，则y＝2，z＝－2，n＝（1，2，－2）．……………………………8分所以cos＝＝＝．所以二面角B1－DC－C1的余弦值为．……………………………10分江苏省淮州中学2010—2011学年度第一学期中考试高三数学试卷15．（本小题满分14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=2,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=12AG=1所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.[来源:学科网]江苏连云港市2011届高三上学期第一次调研考试（数学）数学Ⅰ试题11.如图，三棱柱111ABCABC的所有棱长均等于1，且1160AABAAC，则该三棱柱的体积是▲．BADCFE（第16题）答案：24二、解答题16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，90AEB,BEBC,F为CE的中点，求证：（1）AE∥平面BDF；（2）平面BDF平面ACE．证明：（1）设ACBDG,连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，…………2分∵AE平面BFD，FG平面BFD，∴AE∥平面BFD．………………………………6分（2）平面ABCD平面ABE,BCAB,平面ABCD平面ABEABBC平面ABE,又AE平面,ABEBCAE,又AEBE，BCBEB,AE平面,BCEAEBF,……………………………10分在BCE△中，,BECBF为CE的中点，BFCE,AECEEBF平面ACE，ABCA1B1C1（第11题）GBADCFE又BF平面BDF，平面BDF平面ACE．………14分2011届江苏高考数学权威预测题3、半径为1的半球的表面积为▲.答案：53二、解答题16、（14分）如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．（1）求证：AD⊥BC；（2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．解：（1）取BC中点M，连AM，DM．因△ABC及△BCD均为正三角形，故BC⊥AM，BC⊥DM．因AM，DM为平面ADM内的两条相交直线，故BC⊥平面ADM，于是BC⊥AD．…4分（2）连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM．于是EQ∥AD，故EQ∥平面ABD．同理MQ∥平面ABD．因EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，故平面QEM∥平面ABD，从而点P的轨迹为线段QM．……………………8分（3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，故所有等可能基本事件总数为34=81．……………………10分走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了AB，然后走第2条棱为：或BA或BC或BD．若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择．……………………12分故小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×(3+2+2)=21种可能．于是，所求的概率为2178127．……………………14分江苏省2011年高考数学模拟题三、立体几何题4、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分别是AB、PD的中点。ABCD(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD。证明：(1)取PC中点G，连接FG、EG。因为F、G分别为PD、PC的中点，所以FG∥CD且FG=CD，又AE∥CD且AE=CD，所以，FG∥AE且FG=AE，四边形AEGF为平行四边形，因此，AF∥EG，又AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE。(2)由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD⊥AF。又PA⊥AD，F为PD的中点，则AF⊥PD，因此，AF⊥平面PCD。而AF∥EG，故EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE，所以，平面PCE⊥平面PCD。八、空间向量题（理科附加）12、如图，正棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，D为CC1中点，(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A-A1D-B的大小。解：(1)取BC中点O，连接AO，取B1C1中点O1，以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B(2,0,0)，D(-2,2,0)，A1(-4,2,2)，A(0,0,2)，B1(2,4,0)，AB1=(2,4,-2)，BD=(-4,2,0)，BA1=(2,4,2)，∵AB1·BD=0，AB1·BA1=0，∴AB1⊥BD，AB1⊥BA1，∴AB1⊥平面A1BD。(2)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z),AD=(-2,2,-2)，AA1=(0,4,0)。n⊥AD，n⊥AA1，∴，令z=1，得n=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量，[来源:学&科&网Z&X&X&K]由(1)AB1=(2,4,2)为平面A1BD的法向量，得cos=，∴所以二面角A-A1D-B的大小为arccos。GPABCDFE13、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。(1)证明PA平面BDE；(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论。解：(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，PA=(2,0,-2)，DE=(0,1,1)，DB=(2,2,0)。设n=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，则由，得；取=-1，n1=(1,-1,1)，∵·n=2-2=0，∴PA⊥n1，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE。(2)由(1)知n1=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又n2=DA=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=，∴cosθ=cos===，故二面角B-DE-C余弦值为。(3)∵PB=(2,2,-2)，DE=(0,1,1)，∴PB·DE=0+2-2=0，∴PB⊥DE。假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设PF=λPB(0＜λ＜1)，则PF=(2λ,2λ,-2λ)，DF=DP+PF=(2λ,2λ,2-2λ)，由PF·DF=0得4λ2+4λ2-2λ(2-2λ)=0，∴λ=∈(0,1)，此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。2011年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学（必试部分）16.（本小题满分14）如图，已知AB平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点.⑴求证：AF//平面BCE；⑵求证：平面BCE平面CDE.ABCDEF16题图加试必做题22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM平面PBD.⑴求PA的长；⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值.江苏省安宜高级中学10-11年度高三B部数学复习资料期末综合练习（二）[来源:学+科+网Z+X+X+K]16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PBPD，且E，F分别是BC，CD的中点.求证：（1）EF∥平面PBD；（2）平面PEF⊥平面PAC.证明（1）因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，……………………………2分因为EF平面PBD，BD平面PBD，所以EF∥平面PBD.………………………6分（2）设BD交AC于点O，连结PO，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，O是BD中点，又PBPD，所以BD⊥PO，又EF∥BD，所以EF⊥AC，EF⊥PO.…………………10分又ACPOO，AC平面PAC，PO平面PAC，所以EF⊥平面PAC.…………………………………………12分因为EF平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC.………………………………………14分PBCDAMP（第16题图）ABCEFD（第16题图）PABCEFO江苏常州三中高三数学期末模拟试题[来源:学科网]5．已知四棱锥PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两对角线的交点，若3AB，4PB，则PA长度的取值范围为．16．多面体ABCDE中，1AEACBCAB，2CD，ABCAE面，CDAE//．（1）求证：BCDAE面//；（2）求证：BCDBED面面．16、证明：（1）∵CDAE//BCDAE面∴BCDAE面//……4分（2）令BC中点为N，BD中点为M，连结MN、EN∵MN是BCD的中位线∴CDMN//……6分又∵CDAE//∴MNAE//∴ABCMN面……8分∴ANMN∵ABC为正∴BCAN……10分∴BCDAN面又∵1MNAE，MNAE//∴四边形ANME为平行四边形……12分∴BCDEN面∴BCDBED面面……14分江苏省常州市2011届高三上学期调研试题（数学）CBAC1B1A1C2B2A2ABCDEF(第16题)图)5.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.72或4817.（15）如图所示的几何体由斜三棱柱111CBAABC和111222CBACBA组成，其斜三棱柱111CBAABC和111222CBACBA满足11AABB1122ABBA、11BBCC1122BCCB、11CCAA1122CAAC。（1）证明：112CAAA；（2）证明：ABCAA面2；[来源:学,科,网Z,X,X,K]（3）若1AAACAB，90CAB，ABCBAA面面1.问：侧棱1AA和底面ABC所成的角是多少度时，21CA∥11BBCC面.17、（1）证明：取2AA的中点T，连接TA1、TC1，∵11CCAA1122CAAC∴211211,ACACAAAA∴TCAATAAA1212,.若1A、1C、T共线，易知112CAAA；若1A、1C、T不共线，TCAAA112面∴112CAAA（2）证明：同（1）可证明TCBAA112面，∵11TAC面与TCB11面过公共点T，所以11TAC面与TCB11面重合.即111CBA面∥ABC面∴ABCAA面2（3）3江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题Ⅰ16．（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，DE＝2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．ABCC1B1A1FDxyz【证明】（1）因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为CD的中点，所以GF∥ED∥BA，GF＝12ED＝BA，从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.……………………4分因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE．……………………7分（2）因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.……………………9分又AC=AD，所以AF⊥CD.…………………11分而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE.因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．…………………14分江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题Ⅱ(附加题)23．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=2，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.【解】（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝π2．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，从而B(0，0，0)，A200，，，C020，，，B1(0，0，3)，A1203，，，C1023，，，D22322，，，E23022，，．所以1223CA，，，设AF＝x，则F(，0，x)，112222203022CFxBFxBD，，，，，，，，.1222(2)0022CFBDx，所以1.CFBD要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.由1CFBF＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．………………5分（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.设平面B1CF的法向量为(,,)xyzn，则由100CFBF，，nn得220220xyzxz，，令z=1得32212，，n，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值1301cos.1591212，nn…………………10分江苏省常州市北郊中学2011届高三上学期统一练习（数学）二、解答题17.如图，在边长为1的正三角形ABC中，,EF分别是边,ABAC上的点，若,AEmABAFnAC，,(0,1)mn．设EF的中点为M，BC的中点为N．⑴若,,AMN三点共线，求证mn；⑵若1mn，求||MN的最小值．17．⑴证明：由,,AMN三点共线，得//AMAN，…………………………2分设AMANR，即11()()22AEAFABAC，……………………4分所以()mABnACABAC，所以mn．…………………………6分⑵因为[来源:学科网ZXXK]MNANAM＝11()()22ABACAEAF11(1)(1)22mABnAC，又1mn，所以11(1)22MNmABmAC，…………………………10分ABCEFMN第17题所以22222111||(1)(1)442MNmABmACmmABAC　　　　　＝222111113(1)(1)()4444216mmmmm故当12m时，min3||4MN．…………………………14分江苏省常州市武进区横山桥高级中学2011届高三上学期期中考试（数学文）7、设,为互不重合的两个平面，,mn为互不重合的两条直线，给出下列四个命题：①若,mn，则mn；②若,,mnm∥，n∥，则∥③若,,,mnnm，则n④若,m，m∥n，则n∥其中所有正确命题的序号是___▲___.12、已知集合{MP|P是棱长为1的正方体1111ABCDABCD表面上的点，且2}AP，则集合M中所有点的轨迹的长度是___▲___.江苏省成化高中2011届高三（上）期末模拟试卷〈三〉（必做题部分）6.如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．这个几何体的表面积为8622(cm)．[来源:学科网]俯视图A正视图侧视图ABBABCABCABC123113ACDPB13.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数nm,那么积m·n是.616.(本题满分14分)如图已知平面,，且,,ABPC,,PDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．16、证明：（Ⅰ）因为,PCAB，所以PCAB．同理PDAB．又PCPDP，故AB平面PCD．5分（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角．又1,2PCPDCD，所以2222CDPCPD，即90CPD．在平面四边形PCHD中，90PCHPDHCPD，所以90CHD．故平面平面．14分江阴成化高中11届高三一调模拟试卷四10．已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为▲cm2．（注24πSr球，其中r为球半径）答案：26π．讲评建议：当三线互相垂直时，联想构造长方体．长方体的对角线即为外接球的直径．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点．（1）求证BC∥平面MNB1；（2）求证平面A1CB⊥平面ACC1A1．答案：（1）因BC∥B1C1，………………………2分且B1C1平面MNB1，………………………………4分BC平面MNB1，故BC∥平面MNB1．………………………6分（2）因BC⊥AC，且ABC-A1B1C1为直三棱柱，…………………8分ABCMNA1B1C1（第15题）故BC⊥平面ACC1A1．因BC平面A1CB，………………………………10分故平面A1CB⊥平面ACC1A1．……………………12分讲评建议：必修2中的立几初步，必须控制难度，注重答题规范．江阴成化高中2011届高三第一次调研模拟试卷一3．一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为　　　　.117．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直线梯形，ADC为直角，AD//BC,ABAC,AC=AB=2,G是PAC的重心，E为PB中点，F在线段BC上，且CF=2FB.（1）证明：FG//平面PAB；（2）证明：FGAC；（3）求二面角P-CD-A的一个三角函数值，使得FG平面AEC17．（I）连结CG延长交PA于M，连BM，∵G为PAC的重心，∴CG21GM：又∵CF21FB：，FG//BM.又∵BM平面PAB，FGPABFG//PAB....................................4平面，平面分(II)∵PA平面ABCD，PAACABAC，又，PAAB=AACPABACBM.，平面，由（I）知FG//BM，∴FGAC...........................7分（III）连EM，由（II）知FGACFG，平面AEC的充要条件是1FGAEBMAEEMAB=12，即，又=，设1EABMHEH=HA,2，则设PA=h，则221111EAPB4h,EHEA4h,22362222RtAMERtMHE,EMEHEA.1114h4h,26h22,PA22..................................9PAABCDADCDPDCDPA22PDAP-CD-AtanPDA=2,AD2即=分平面，，，为二面角的平面角，此时∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，PG平面AEC……………….14分理科加试部分3．在正三棱锥P—ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．解：以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．因△ABC是正三角形，故y轴平行于BC，而PO=AB=2，则P（0，0，2），A（233，0，0），B（－33，1，0），C（－33，－1，0），D是PA的中点，故D（33，0，1）BC=（0，－2，0），BD=（233，－1，1）------------2分设n=（x，y，z）是平面BDC的一个法向量，n·BC=0且n·BD=0，即：202303yxyz，化简得：0233yzx--------5分取x=3，则y=0，z=－2，平面BDC的一个法向量是n0=（3，0，－2），PB=（－33，1，－2）cos=10417143=32128-----------9分由于PB和n0所成的角与PB与平面BDC所成角互余，所以PB与平面BDC所成角的正弦值为32128．ABCPDO第3题-------------10分江苏省成化高中2011届高三（上）期末模拟试卷〈二〉11．设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面，使m且n∥；(2)一定存在平面，使m且n；(3)一定存在平面，使m，n到的距离相等；(4)一定存在无数对平面与，使m，n，且∥；上述4个命题中正确命题的序号为.(3)16．（15分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.16．解：（1）证明:连结BD.在长方体1AC中，对角线11//BDBD.又E、F为棱AD、AB的中点，//EFBD.11//EFBD.又B1D1平面11CBD，EF平面11CBD，EF∥平面CB1D1.（2）在长方体1AC中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（3）最小值为32如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为32东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练(06)6、圆锥的全面积为215cm，侧面展开图的中心角为60°，则该圆锥的体积[来源:Z&xx&k.Com]为33725cm东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练(07)9.如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平ABCDA1B1C1D1EFABCDEFM第9题NFED1C1B1A1DCBA面ACE.（1）求证：AE⊥BE；（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．9.（1）证明：因为ABEBC平面，ABEAE平面，所以BCAE又ACEBF平面，ACEAE平面，所以BFAE又BFBCB，所以BCEAE平面又BCEBE平面，所以BEAE．（2）解：取DE的中点P，连接PNPA,，因为点N为线段CE的中点．所以PN||DC，且DCPN21又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM||DC，且DCAM21，所以PN||AM，且AMPN，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN||AP而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN∥平面DAE．[来源:学.科.网]东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练（08）9.如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：面PCC1⊥面MNQ；（Ⅱ）求证：PC1∥面MNQ．9.（Ⅰ）∵AC=BC，P是AB的中点∴AB⊥PC∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内∴CC1⊥AB，∵CC1∩PC=C∴AB⊥面PCC1又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，∴MN⊥面PCC1∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；（Ⅱ）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点．又∵Q是C1B1的中点∴PC1∥KQ而KQ平面MNQ，PC1平面MNQ∴PC1∥面MNQ．东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练（10）9.长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、A1C的中点。（1）证明：EF∥平面AA1D1D；（2）当A1A=AD时，证明：EF⊥平面A1CD。A1ABCPMNQB1C1ABCDEFG江苏省东海高级中学2011届高三上学期周周练十（数学）16.(本题满分14分)如图甲，直角梯形ABCD中，,//,ABADADBCFAD为的中点，E在BC上，且//,EFAB已知2ABADCE,现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE平面ABEF.(1)求证：//AD平面BCE;(2)求证：AB平面BCE;求三棱锥CADE的体积.16.证明:（1）由题意知//,//BCEAFBEAF面,同理，DF//CEDF//面BCE……2分又,ADF,DFADFADF//BCEAFDFFAF面面面面………………4分ADADFAD//面面BCE．………………………………………5分(2)在图甲中，EF//AB,ABADEFAD在图乙中CEEF…………………6分ABBE,AB平面CDEF平面ABFE,平面CDEF平面ABFE=EFCE平面ABEFCEAB，又平面BCE……………………10分（3）平面CDEF平面ABEF,AFEFAF平面CDEF，AF为三棱锥A-CDE的高，且AF1又AB=CE=2,CDEC-ADEA-CDE112S=22=2V=V=21=233………………………14分江苏省东海县高级中学2011届高三理科数学练习十三16．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=4，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G。（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C－BGF的体积．16.答案：（3）连结FG．可证三棱锥C－BGF中，ＣＦ与底面BGF垂直，所以所求体积为83．江苏省东海县高级中学2011届高三上学期练习十四（数学理）11.在ABC中，若,,ABACACbBCa，则ABC的外接圆半径222abr，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SASBSC、、两两垂直，,,SAaSBbSCc，则四面体SABC的外接球半径R_____________________．2222abc16.已知：在菱形ABCD中，60DAB,PAABCD底面,PADA,,EF分别是ABPD与的中点.（1）求证：PCBD；（2）求证：AF//平面PEC；（3）在线段BC上是否存在一点M，使AF平面PDM？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由。16.（1）连结AC，则AC⊥BD。∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD又AC与PA相交于A∴BD⊥平面PAC∴PC⊥BD………………4分（2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。………………8分(3)当M是BC的中点时,可使AF平面PDM,证明如下:…………9分∵PADA,F是PD的中点∴AF⊥PD…………10分∵菱形ABCD中，60DAB∴正BCD∴DM⊥BC又AD//BC∴DM⊥AD…………12分∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥DM∴DM⊥平面PAD∴DM⊥AF又PDDMD∴AF平面PDM…………14分江苏省东海县高级中学2011届高三上学期练习十五（数学理）7.已知,mn是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的序号是__________.④ABCDPM①,,mnmn若则‖‖‖②,,若则‖③,,mm若则‖‖‖④,,mnmn若则‖江苏省东海县高级中学2010-2011学年度第一学期期中考试高三数学文16.（本题满分14分）如图，已知四棱锥ABCDP中，底面ABCD是直角梯形，//ABDC，45ABC，1DC，2AB，PA平面ABCD，1PA．（1）求证：//AB平面PCD；（2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC的中点，求三棱锥M—ACD的体积．16.（1）证明：//ABDC，且AB平面PCD∴//AB平面PCD.……………………3分（2）证明：在直角梯形ABCD中，过C作ABCE于点E，则四边形ADCE为矩形∴1AEDC，又2AB，∴1BE，在Rt△BEC中，45ABC，∴1BECE，2CB……………………………………………………4分∴1CEAD，则222DCADAC，222ABBCAC∴ACBC……………………………………………………………………6分又ABCDPA平面∴BCPA………………………………………7分AACPA∴BC平面PAC………………………………………………………………9分（3）∵M是PC中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半.………………………11分12121)1121(31)21(31PASVACDACDM.………………………14分[OMDABC江苏省高淳高级中学2011届高三上学期第二次质量检测(数学理)12．已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：（1）若∩＝n,m//n,，则m//,m//；（2）若m,m，则//；（3）若m//,mn，则n；（4）若m,n，则mn。其中所有真命题的序号是_____▲______．(2)(4)16．（本小题满分14分）　如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点．　求证：（Ⅰ）MC//平面OAB；（Ⅱ）BD⊥OA．16．证明：（1）设N是OA的中点，连接MN，NB，因为M是OD的中点，所以MN//AD，且2MN=AD，又AD//BC，AD=2BC，所以MNBC是平行四边形，所以MC//NB，[来源:学&科&网]又MC平面OAB，NB平面OAB，所以直线MC//平面OAB；………………………………（7分）（2）设H是BD的中点，连接AH，因为AB=AD，所以AHBD，又因为OB=OD，所以OHBD所以BD面OAH所以BDOA．……………………………………（14分）附加题22．（本小题满分10分）已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，//ABDC，090DAB，PA底面ABCD，MPABCD第22题ABCDD1A1B1C1且1,2PAADDCAB，M是PB的中点.（Ⅰ）求AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值的大小.22.解：以A为坐标原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0,0,0），B（0,2,0），C（1,1,0），D（1,0,0），P（0,0,1），M（0,1,12）……2分（Ⅰ）因AC=（1,1,0），PB=（0,2,－1），故|AC|=2,|PB|=5,ACPB=2,所以10cos,5||||ACPBACPBACPB,即AC与PB所成的角的余弦值为105…6分（Ⅱ）由AM=（0,1,12），MC=（1,0,12），BC=（1,－1,0）,设平面AMC与面BMC的法向量分别为1n=（x,y,z），2n=（p,q,v），则1n·AM=1n·MC=0,解得1n=（1，－1，2），同理2n=（1，1，2），12122cos3||||nnnn………………………………………8分由题意可知,二面角的平面角为钝角，所以面AMC与面BMC二面角的余弦值为23…10分江苏省海安、如皋2011届高三上学期期中考试试卷（数学文）15．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；（2）求二面角C1—BD—C的正切值．【证明】（1）因为ABCD—A1B1C1D1是正方体，所以AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD，……………2分而BD平面ABCD，于是BD⊥A1A.………………4分因为AC、A1A平面A1ACC1，1ACAAA，所以BD⊥平面A1ACC1.……………6分因为BD平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面A1ACC1.…………………………8分【解】（2）设AC与BD交于点O，连C1O.因为C1O、CO平面A1ACC1，而BD⊥平面A1ACC1，所以C1O⊥BD，CO⊥BD，于是1COC是二面角C1—BD—C的平面角.………………………12分设正方体的棱长为a，所以CO22a.在Rt△C1OC中,11tan2.22CCaCOCCOa故二面角C1—BD—C的正切值为2．………………………14分

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